Moving robots efficiently using the combinatorics of CAT(0) cubical complexes

Given a reconfigurable system X , such as a robot moving on a grid or a set of particles traversing a graph without colliding, the possible positions of X naturally form a cubical complex S(X). When S(X) is a CAT(0) space, we can explicitly construct the shortest path between any two points, for any of the four most natural metrics: distance, time, number of moves, and number of steps of simultaneous moves. CAT(0) cubical complexes are in correspondence with posets with inconsistent pairs (PIPs), so we can prove that a state complex S(X) is CAT(0) by identifying the corresponding PIP. We illustrate this very general strategy with one known and one new example: Abrams and Ghrist’s “positive robotic arm” on a square grid, and the robotic arm in a strip. We then use the PIP as a combinatorial “remote control” to move these robots efficiently from one position to another. Résumé. Etant donné un système X , qui est reconfigurable, par example un robot se déplaçant sur une grille ou bien un ensemble de particules qui traverse un graphe sans collision, toutes les positions possibles de X forment de façon naturel un c complexe cubique S(X). Dans le cas ou S(X) est un espace CAT(0), nous pouvons explicitement construire le chemin le plus court entre deux points quelconques, pour une des quatre mesures les plus naturels: la distance euclidienne, le temps, le nombre de coups, et le nombre d’étapes de mouvements simultanés. CAT (0) complexes cubiques sont en correspondance avec les ensembles partiellement ordonnés posets des paires incompatibles (PPI), et donc nous pouvons demontrer qu’un état complexe S(X) est CAT (0), en identifiant le PPI correspondant. Nous illustrons cette stratégie très générale avec un example bien connu et un exemple nouveau: L’example de Abrams et Ghrist du “bras robotique positif” sur une grille carrée, et le bras robotique dans une bande. Ensuite nous utilisons le PPI come une “télécommande” combinatorique pour efficacement déplacer ces robots d’une position à une autre.